Недавно на одном из педагогических сайтов я наткнулся на обсуждение методов преподавания математики в школе.
Посетитель форума, М.Я. Арест, математик-профессионал, бывший двоечник по математике,
весьма нелестно высказался о том, во что учителя превратили сей изящный предмет, извратив его суть. О!… Как набросились на него педагогические светила!..
Михаил Яковлевич (мое искреннее почтение, кстати), в частности, апеллировал к мнению Паскаля, на что получил следующий аргумент: «Блез Паскаль сказал … — Да он ведь был философ! А философы любят «изрекать» мысли».
Интересно, подумал я: если люди даже не осведомлены о том, что:
— способны ли в принципе такие люди обучить математике?
Или они пытаются втиснуть в детские головы нечто другое, диссонирующее с реальностью и поэтому слабо поддающееся пониманию?
Впрочем, логика развития этого сайта требует от меня все большей конкретности. Все-таки это не сайт о «какой-то там философии».
Простая школьная задача по математике
Задача.
«Букет цветов состоит из васильков и ромашек. Всего в нем 35 цветков.
Вопрос:
на сколько васильков больше, чем ромашек, если ромашек — 15?»
Ваше решение?
Задача простая, из учебника по математике для второго класса школы. Однако …
. А способного второклашку от того, на чьих мозгах уже стоит штамп: «Обучен математике в школе».Тест на математический IQ
Итак: как решали задачу Вы?
Наверняка также, как и я.
Себя я математиком не считаю. Хотя остепенен, да и лабораторией в институте прикладной математики руководить приходилось. Но это — другое.
… Шаблонным движением ума я отнял от 35 15 и получил 20. И вторым действием из 20 вычел 15. получив искомую разницу: васильков на 5 больше, чем ромашек.
Решение верное, так как сходится с ответом в конце учебника. Вспомнили школьные годы?
А вот как решил эту задачку мой сын — второклассник…
Однако прежде, чем привести ход его рассуждений, я сделаю философское отступление. Чтобы позлить школьных учителей.
Данте Алигьери, шахматы и школьная математика
Пройдя определенную часть земного пути на многие вещи мы начинаем смотреть по-другому. Это признак того, что в школе мы не сильно поглупели.
… Риторический вопрос: не думаете же Вы, уважаемый Посетитель, что школьное образование — это единственный вид образования, деградировавший в нашей стране?
Советский Союз был сильнейшей шахматной державой: больше всего чемпионов мира, сильнейшая шахматная школа.
Но времена изменились. Теперь в России нет своего чемпиона мира. А от шахматного образования, так же как и от школьного, остались обломки.
Возможно, сравнивая шахматное и школьное образование, мы сможем обнаружить нечто общее?
… Одна из глыб, отколовшаяся от Советской школы шахмат — Евгений Свешников: международный гроссмейстер, всемирно признанный шахматный аналитик и тренер, да к тому же, мой земляк. И вот несколько его мыслей о методах обучения шахматной игре. (По материалам интервью, взятого С.Гайнутдиновым) .
- Первое, чем озаботился Евгений Свешников, столкнувшись с обучением детей: как не навредить. Если в самом начале отбить интерес к шахматам, то …
- Далее Е. Свешников предостерегает начинающих тренеров от «метода» преподавания шахмат, который теперь стремительно набирает силу.
- И, наконец, Мастер категорически против участия детей на ранних этапах обучения в различных соревнованиях. Ранняя гиперответственность приводит к серьезным нарушениям детской психики — со всеми вытекающими последствиями.
Насколько вероятен успех там, куда Вам и смотреть-то тошно?
Маловероятен. Но иногда случается (см. выше)
А Вы думаете иначе?
(Я узнал об этом еще до знакомства с мыслями Мастера от некоторых московских шахматных тренеров).
Называется этот метод — «детские шахматы». (Похоже математика в школе нынче тоже «детская», то есть не настоящая 
).
… «Этот дебют — хороший, расставляй фигуры вот так, это правильно. Сюда не ходи — это неправильно. Неважно, что делает соперник — расставь свои фигуры по этой схеме, а потом … будет другая стандартная ситуация».
Ребенка не учат думать, его «натаскивают». Его не учат «смотреть и видеть», его не учат понимать, его не учат внутренней логике игры и разработке собственной стратегии поведения …
Говоря проще, ребенка понуждают запоминать типовые расположения фигурок на шахматной доске. Для «авторитетности» сопровождая действо акивоками на великих предшественников, сыгравших похожие партии.
Совсем как в школе, где под страхом плохой оценки учителя понуждают ребенка запоминать «типовые методы решения задач».
Подвергшись такому «обучению», 
ребенок на начальном этапе выдает быстрые «результаты». Но также быстро заходит в интеллектуальный тупик и гибнет.
И как шахматист и как математик.
Впрочем … чтобы зайти в интеллектуальный тупик нужно перед этим хотя бы встать на интеллектуальную тропу …
А Вы не замечали, что Ваш ребенок с каждым годом понимает математику все хуже?
Но разве не в состоянии непрерывного экзаменационного прессинга «учатся» дети школьной математике? Бесконечные оценивания, тестирования, проверки …
И, наконец: разве «типовой подход» (читай — единственно правильный) сам по себе не являются фундаментом, стоя на котором, нормальной математике не обучишь? И психически здорового ребенка — не воспитаешь?!
Учителя математики — против шахмат?
…Шахматы и математика традиционно близки по духу … Но только не шахматы и школьная математика.
В разговоре с одним из учителей из соседней математической гимназии я узнал нечто удивительное. Оказывается, из опыта известно, 
что шахматы вовсе не помогают в понимании математики. Наверное поэтому, маму самого молодого из ныне живущих гроссмейстеров, учившегося в этой гимназии пару лет назад, учителя замучили, постоянно вызывая в школу и «капая на мозги». Конечно, когда он стал выигрывать международные соревнования — отстали.
Теперь, на флаге гимназии, видимо, начертано: «Мы воспитали …»
…Да, я не гроссмейстер, максимум на что я вытяну — второй разряд. Поэтому Вы можете мне не верить. Некоторые из мастеров тоже не соглашаются со мной. Но для других — это очевидная и грустная реальность.
Так же, как и для Вас, видимо. грустной реальностью является то, что несмотря на все заклинания и танцы с бубном школьных «профессионалов» Ваш ребенок все-таки не понимает математику.
Просто математика … Изящная, понятная и интересная
Когда начинаешь проводить параллели, изложение часто затягивается ..
Ну, посмотрим. как решил задачу о букете мой сын — второклашка.
«Если бы васильков в букете было столько же, сколько ромашек, то букет состоял бы из 30 цветков. Поскольку в букете 35 цветков, следовательно, васильков на пять больше!»
Единственное «незначительное» отличие его решения от моего (и Вашего?), в том. что сын думал, когда решал. Он видел задачу и представлял решение. Он обращался к реальности, а не «искал ответ» среди угодливо предоставленных ему готовых «формул». Поэтому:
Дурно пахнущее нечто (18+)
Я спросил сына: «А как ты записал решение?».
И дальше — просто классика .
Он ответил: «Ну. в таком виде учительница поставила бы мне двойку. Поэтому, я записал по-ихнему, с цветными скобками».
Тогда мне на ум пришли сразу две мысли :
- Прививка от глупости срабатывает. Сын учится думать и он уже способен различать форму и содержание. Вопреки школьным «математикам», не знакомым с философией.
- В определенном возрасте во дворе, где я воспитывался, среди пацанов бытовала такая шутка.
В старый кошелек палочкой мы заталкивали кусочек дерьма и бросали его на дорогу в надежде, что прохожий, жадный до чужого добра, раскроет его.
… Современная школьная математика напоминает мне ту дурацкую шутку. Некоторые неопытные родители, обуреваемые желанием обучить ребенка, с жаром хватаются за школьное образование и поэтому не замечают подозрительного запаха. Даже приплачивают учителям-репетиторам за внеочередной доступ к «знаниям». А вляпавшись …
Ну, скажите, пожалуйста: много у Вас знакомых, способных быстро признать собственную неправоту?…
И третья мысль посетила меня: как здорово, что я не отдал сына в математическую гимназию!..
А спустя полгода школьная жизнь предоставила еще одно подтверждение правильности курса, выбранного в обучении сына …
Наткнулась на Ваш сайт случайно, пытаясь понять и найти какие-то ответы на свой вопрос: «Почему мой сын скатился в школе по математике до двоек? Принципиально не хочет ничего пересдавать.» Твердит одно:»Я знаю, что я это знаю, а остальное не очень важно». Вспоминаю, что он когда-то в начальной школе тоже по-своему решал задачи, у него были свои схемы счета (учительница говорила, что у него нестандартное мышление, отправляла на олимпиады). В средней школе все перевернулось с ног на голову. Сейчас он в восьмом (лингвистическом) классе.С математикой беда. Выхода пока не вижу (предприняты все мыслимые и немыслимые меры, результаты нулевые). Ваша статья — глоток свежего воздуха. Но где взять ПЕДАГОГОВ С БОЛЬШОЙ БУКВЫ в обычной школе ( пусть даже очень продвинутой)? Спасибо огромное!
Наталья, сегодня школа это не то место, где учат. И это не метафора, а суть «Закона об образовании». Учителя сегодня — не учителя, а «Тьюторы, координаторы, сопровождающие». Сами учителя это прекрасно знают, а вот родители — далеко не все. Поэтому искать рыбу в пустыне — не самое эффективное занятие. Также, как и ожидать, что в школе Вашего сына кто-то научит или мотивирует учиться …
Я не знаю, откуда Вы, но в Москве, например, практически все родители, дети которых «тянут» школу, либо сами занимаются с детьми, либо нанимают репетиторов. Остальные — не «тянут».
Конечно, как и везде, где действует закон нормального распределения, есть исключения, но я говорю и закономерности.
Еще одна проблема: абсолютное большинство репетиторов — те же учителя … Выводы делайте сами.
Конечно, встречаются педагоги, которые стараются сделать что-то позитивное. Но … они ведь зарплату получают и живут на нее… Находясь в жесткой системе, где «прыжок на месте считается попыткой побега», они мало что могут изменить.
Практически, Наталья: поскольку Вы «предприняли все мыслимые и немыслимые меры», то , скорее всего, Вы человек, который знает, что такое «намерение». Мой сайт — именно для такой категории людей, потому, что остальным я не знаю. как помочь.
Я мог бы провести для Вас консультацию и обсудить ситуацию с образованием Вашего сына. Денег за это я не возьму, потому, что ситуация слишком непонятная. Но, возможно, Вы получите от этого какую-то пользу. а я — дополнительное понимание психологии подростков и их взаимоотношений с родителями.
Спасибо за комментарий.
Решение через допущение «если бы… то», конечно, прикольное. Я бы никогда до него не додумался. И дети моего класса, наверное, никогда не додумаются — потому что я изначально считаю задачу «неправильной», «некошерной». Даже нелогичной и неприятной. Решение задачи должно приносить какую-то пользу. Допустим, у человека задача — набрать букет из 20 цветов; он сколько-то уже сорвал и просит ученика посчитать, сколько ещё надо; ученик считает, сколько уже есть и дальше что-то там вычисляет. Всё разумно.
Но вот в этой задаче про васильки и ромашки — задающий задачу ведь уже посчитал все цветы. Зачем ему теперь понадобилось узнать, на сколько васильков больше? Какую пользу может принести это знание? Если бы он хотел, например, чтобы цветов в букете было поровну, он добился бы этого в процессе счёта (раз он знает отдельно, сколько ромашек, значит, он считал их отдельно и васильки отдельно). Мне так и видится хитроватый «ленинский» прищур этого человека, заставляющего детей выполнять заведомо бесполезный труд.
Правильная задача могла бы выглядеть так: «Вот тебе букет. Сколько и каких цветов надо убрать, чтобы ромашек и васильков стало поровну?»
Я согласен: в подобных задачах «с прищуром» присутствует нечто от шарад а ля Петерсон. Но это ведь во всех арифметических задачах присутствует, не так ли? Даже в действительно интересных и методически ценных задачах В.И.Арнольда. Вроде задачи о 2-х старушках, вышедших на рассвете навстречу друг другу, встретившихся в полдень и т.д. Ведь и в этом случае составитель знал, когда был рассвет — а иначе откуда он узнал все остальное? ))
С моей точки зрения «кошерность» задачи определяется ее связью с чем-то реальным, практически полезным или, хотя бы, потенциально существующим в реальности.
Например, имеющееся в учебнике за 7 класс по математике доказательство того, что 0.(9) = 1 не кошерное. Потому, что «кручу — верчу» математическими символами — не есть всегда доказательство. И доказательство этого
— пример из того же учебника, в котором «доказывается», что у линейной функции могут существовать «выколотые точки»
P.S. А в примере с Вашей задачей ответ может быть, например. такой: все убрать, даже не пересчитывая, оставив по одному цветку.
Спасибо за задачу, Виктор. Думал над ней часа 2. Ну, не два, может, час — по дороге (пешком) в школу и обратно; хотел решить без бумаги и без алгебры. Угадал-таки ответ подбором, долго мысленно всматриваясь в предельные случаи (скорости старушек равны; одна вдвое быстрее). Потом проверил на Хабре — конечно, если рисовать на бумаге, можно много красивых решений найти! Это всё-таки задача другая: в ней «шарадность» искупается как бы внешней «недостаточностью» условий, лаконичностью, она… больше внутри! (с)
p.s. Ваше решение моей задачи ведь не обязательно ограничивать одной парой цветков — его можно использовать как повторяющийся алгоритм, и (тоже не считая) создать в принципе любой букет — вплоть до исчерпывания всех пар цветков. А остаток уже посчитать (чтобы ответить на вопрос задачи).
Пожалуйста, Михаил.
Задачка действительно интересная во многих отношениях. Я дал ее для решения своему подопечному, а перед встречей решил по быстрому сам ее решить, между делом, в деревне )) В уме принцип решения я понял, а вот когда взял бумажку …
Но была одна особенность. Я эту задачу запретил решать алгебраически, и условие переформулировал так, чтобы не находилась через поисковик )) Поэтому и сам должен быть, как честный человек, решать ее через понимание, моделирование условий. Просидел на лавочке в деревне часа 1,5 — ладно, думаю, ночью отстоится и утром решится сама. В общем пришлось еще часик покумекать, чтобы найти удовлетворительное почти наглядное объяснение на уровне арифметики.